Tugas 8 blog mata kuliah aljabar linear

 Nama                           : Alfian Riswandi

NIM                            : 202231005

Kelas                           : A

Fakultas                       : Telematika Energi

Program Studi : S1 Teknik Informatika

Mata Kuliah    : Aljabar Linear

DIAGONALISASI

Matrix bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P-1AP adalah matrix diagonal. Matrix P dikatakan mendiagonalisasi A

Langkah-langkah menentukan matrix P dan D adalah Sebagai berikut :

1. Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

2. Carilah n vektor eigen bebas linear A sesuai nilai eigen p1, p2, …, pn

3. Bentuklah  matrix P = [p1, p2, …, pn] dan hitunglah P-1

4. Hitung D = P-1AP dengan diagonal utama

Contoh : 

Vektor eigen dan nilai eigennya

Contoh :

Carilah nilai eigen, Vektor eigen dan matrik yang mendiagonalisasi matrik A, bilamana

Jawab :

1. Nilai

= ((l + 1).(l - 4).(l - 3)) + (-4.0.3) + (2.3.-1) – (3(l - 4).2) – (-1.0(l + 1) – ((l - 3).3.-4)

= ((l2 - 3l - 4) (l - 3)) – 6 – 6l + 24 + 12l - 36 

= l3 - 6l2 + 11l - 6

(l - 2) (l2 - 4l + 3) = 0

(l - 2) (l - 3) (l - 1) = 0

Persamaannya adalah l1 = 1, l2 = 2, l3 = 3, inilah nilai eigen matrik A

 

2. Vektor

(l|-A)x = 0


Untuk l = 1, diperoleh SPL


1. 3x1 – 3x2 = 0

                         3x1 = 3x2 à missal x2 = t

                           x1 = t

2. 2x1 – 4x2 + 2x3 = 0

                                   2x3 = -2t + 4t

                                   2x3 = 2t

                                     x3 = t

Jadi vektor eigen untuk l = 1 adalah P1 = [1,1,1]

Untuk l = 2, diperoleh SPL


1. 3x1 – 2x2 = 0

                         3x1 = 2x2 à missal x2 = 3t

                         3x1 = 6t

                           x1 = 2t

2. 3x1 – 4x2 + 2x3 = 0

                                   2x3 = -6t + 12t

                                   2x3 = 6t

                                     x3 = 3t

Jadi vektor eigen untuk l = 2 adalah P1 = [2,3,3]

Untuk l = 3, diperoleh SPL

1. 3x1 – x2 = 0

                      3x1 = x2 à missal x2 = 3t

                       3x1 = 3t

                         x1 = t

2. 4x1 – 4x2­­ + 2x3 = 0

                                   2x3 = -4t + 12t

                                   2x3 = 8t

                                     x3 = 4t


Jadi vektor eigen untuk l = 2 adalah P1 = [1,3,4]

3. Matrik P yang mendiagonalisasi A adalah :


Mencari P-1

Matrik diagonal

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat diagonalisasi secara orthogonal jika terdapat matrik P yang orthogonal sedemikian rupa sehingga, P-1 AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adalah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara orthogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan, berikut ekivalen yakni :

1. A dapat didiagonalisasi secara ortologi.

2. A matrik simetris

3. A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen

Langkah – Langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

1. Carilah n vektor eigen A yang bebas linear, x1, x2, …, xn.

2. Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal, dari vektor basis pada Langkah (1).

3. Bentuk matrik P dari Langkah (2), yakni P = [p1, p2, …, pn]

Contoh:

Carilah matrik orthogonal P yang mendiagonalisasi


Jawab:

Nilai


Jadi nilai eigen A adalah l = 2 dan l = 8

Vektor


Membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 2. Dengan menerapkan proses Gramm – Schmidt terhadap {u1, u2} akan menghasilkan vektor – vektor eigen ortonormal.







Ruang eigen yang bersesuaian dengan l = 8 mempunyai

Sebagai basis. Dengan menerapkan proses Gramm – Schmidt terhadap {u3} maka akan menghasilkan


Akhirnya, dengan menggunakan u1, u2, dan u3­ sebagai vektor – vektor kolom maka kita dapatkan


Yang akan mendiagonalisasi A secara orthogonal. (Sbagai pemeriksaan, anda bisa membuktikan bahwa PT AP adalah matrik diagonal). 














 




Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Sejarah & Perkembangan Prosesor AMD

Gambar
SEJARA DAN PERKEMBANG PROSESOR AMD Sejarah perusahaan ini dimulai pada tahun 1969 di Sunnyvale, California. Perusahaan ini didirikan oleh Jerry Sanders dan sekelompok insinyur dari Fairchild Semiconductor. Sejak itu, AMD terus mengembangkan prosesor yang inovatif dan berkualitas tinggi. Pada awalnya, AMD hanya menjadi pemasok komponen elektronik untuk perusahaan lain. Namun, pada tahun 1975, AMD memutuskan untuk membuat prosesor mereka sendiri dengan peluncuran perdana prosesor AMD, yakni AMD Am9080. Prosesor ini adalah prosesor 8-bit yang dirancang untuk digunakan pada mesin-mesin industri. Namun, prosesor ini tidak begitu sukses dan AMD kemudian beralih ke pasar prosesor mikro. Pada tahun 1982, AMD meluncurkan prosesor 16-bit pertamanya, AMD Am29116. Prosesor ini dirancang untuk digunakan pada sistem komputer desktop dan berhasil menjadi saingan kuat bagi Intel. Namun, AMD baru benar-benar populer pada tahun 1991 dengan peluncuran prosesor 386DX, yang diluncurkan sebagai alternatif y
Baca selengkapnya

Tugas Blog Mikroprocessor

Gambar
  ARDUINO  Arduino  adalah pengendali mikro dengan papan tunggal yang berfungsi dalam proyek perangkat lunak sumber terbuka. Fungsi utama dari Arduino untuk memudahkan penggunaan elektronik dalam berbagai bidang. Arduino memiliki perangkat lunak yang menggunakan prosesor Atmel AVR. Sementara perangkat lunak yang dimiliki oleh Arduino terdiri dari beberapa alat yakni lingkungan pengembagan terpadu(IDE), penyunting teks,kompilator, Serial Monitor, dan Serial ISP Programer. Arduino juga merupakan senarai perangkat keras terbuka yang ditujukan kepada siapa saja yang ingin membuat purwarupa peralatan elektronik interaktif berdasarkan hardware dan software yang fleksibel dan mudah digunakan. Pada aplikasi Arduino, Mikrokontroler diprogram menggunakan bahasa pemograman C atau C++, dengan pustaka khas arduino. Karena sifatnya yang terbuka maka siapa saja dapat mengunduh skema hardware arduino dan membangunnya. Arduino menggunakan keluarga pengendali mikro ATMega yang dirilis oleh Atmel sebagai
Baca selengkapnya

Tugas 9 blog mata kuliah aljabar linear

Gambar
  Nama                    : Alfian Riswandi NIM                      : 202231005 Kelas                    : A Fakultas               : Telematika Energi Program Studi     : S1 Teknik Informatika Mata Kuliah        : Aljabar Linear BASIS DAN DIMENSI Ruang -N Euclides Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berturut adalah sebuah urutan n bilangan real ( x 1 , x 2 , ..., x n ). Himpunan semua n pasangan bilangan berurutan dinamakan ruang n Eucides dan dinyatakan dengan R n . RUANG VEKTOR Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : 1. Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V 2. u + v = v +u 3. u + (v + w) = (u + v) + w 4. Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 5. Untuk setiap u di V terdapat -u di V sehingga u + (-u) = -u + u = 0 6. Jika k scalar dan u di V, maka ku berada di V 7. k(u + v) = ku + kv . (k + I) u = ku + Iu 9. k(u) = (kI) u 10. 1
Baca selengkapnya