Tugas 13 blog mata kuliah aljabar linear

 Nama                   : Alfian Riswandi

NIM                     : 202231005

Kelas                   : A

Fakultas              : Telematika Energi

Program Studi    : S1 Teknik Informatika

Mata Kuliah       : Aljabar Linear

 

BASIS ORTONORMAL DAN GRAM-SCHMIDT

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam disebut himpunan ortogonal jika semua pasangan himpunan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut saling ortogonal, dan sebuah himpunan ortogonal yang normnya 1 (satu) dinamakan himpunan ortonormal.

Misalkan 𝑆 = {𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … 𝑠𝑛} merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan merupakan himpunan ortonormal, maka 𝑆 disebut Basis Ortonormal. Dalam Modul 5 ini kita akan membahas jika 𝑆 merupakan basis dari suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan bukan himpunan ortonormal, maka 𝑆 dapat ditransformasi menjadi Basis Ortonormal.

Sebelum basis dari ruang hasil kali dalam diubah menjadi Basis Ortonormal, basis 𝑆 tersebut terlebih dahulu diubah menjadi Basis Ortogonal dengan menggunakan sebuah proses yang dinamakan proses Gramm-Schmidt. Selanjutnya Basis Ortogonal tersebut dinormalisasi untuk mendapatkan Basis Ortonornalnya

 

A. Proses Gramm-Schmidt

Berikut definisi dan teorema yang berhubungan dengan basis ortogonal dan basis ortonormal.

Definisi 1

Diberikan ruang vektor 𝑉. Diambil vektor 𝑢, 𝑣𝜖𝑉. Vektor 𝑢 dikatakan ortogonal (orthogonal) terhadap 𝑣 jika 〈𝑢, 𝑣〉 = 0. Dinotasikan dengan 𝑢 ⊥ 𝑣.

Jelas bahwa 𝑢 ⊥ 𝑣 jika dan hanya jika 𝑣 ⊥ 𝑢. Lebih lanjut, jika 𝑢 ortogonal terhadap setiap vektor di suatu himpunan 𝑆, maka dikatakan 𝑢 ortogonal terhadap 𝑆. Vektor 𝟎 ortogonal terhadap setiap vektor dan merupakan satu-satunya vektor yang tegak lurus dengan dirinya sendiri.

 

Definisi 2

1. Suatu himpunan 𝑉 dikatakan ortogonal dengan himpunan 𝑊, dinotasikan dengan 𝑉 ⊥ 𝑊 jika ∀𝑣𝜖𝑉dan 𝑤𝜖𝑊 berlaku 𝑣 ⊥ 𝑤.

2. Suatu himpunan bagian 𝑉dari suatu ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika ∀𝑣, 𝑤𝜖𝑉 dan 𝑣 ≠ 𝑤 maka 〈𝑣, 𝑤〉 = 0

Definisi 3

Suatu himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norm 1 dikatakan ortonormal. Dengan kata lain {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛} di 𝑉 adalah ortonormal jika

Diberikan ruang hasil kali dalam 𝑉, jika {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛 } di 𝑉 adalah ortonormal, maka

Akibat Setiap vektor di himpunan ortonormal adalah bebas linear.

Teorema 1 Jika {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛 } adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam 𝑉 dan 𝑣 adalah sebarang vektor di 𝑉, maka:

Teorema 2 Diberikan himpunan ortonormal {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛 } di suatu ruang hasil kali dalam 𝑉. Jika 𝑊 adalah ruang yang direntang oleh 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … 𝑣𝑛, maka setiap vektor 𝑣𝜖𝑉 dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑣 = 𝑤1 + 𝑤2 ,dengan 𝑤1𝜖𝑊 dan 𝑤2𝜖𝑊 ortogonal terhadap 𝑊 yang dirumuskan oleh

Berikut akan diberikan Teorema Dekomposisi Ortogonal yang akan digunakan dalam proses Gramm-Schmidt.

Teorema 3 (Teorema Dekomposisi Ortogonal)

Diberikan 𝑊 adalah subruang dari ruang vektor ℝ𝑛 dan 𝑣 adalah vektor di ℝ𝑛 , maka terdapat vektor tunggal 𝑤 di 𝑊 dan 𝑤 ⊥ di 𝑊 ⊥ sehingga:

Teorema 4 Setiap ruang hasil kali dalam tak nol yang berdimensi berhingga mempunyai basis ortonormal.

 

Contoh:

Diberikan Ruang Vektor 𝑉 = ℝ3 dengan hasil kali dalam Euclid, dengan menggunakan proses Gramm-Schmidt carilah basis ortogonal dari basis berikut:

{(1,-1,1),(1,0,1),(1,1,2)}

 

Penyelesaian:

Langkah 1. Diambil 𝑣1 = (1, −1,1).

Langkah 2. Dibentuk vektor 𝑣2 yang ortogonal terhadap 𝑣1, yaitu:

Langkah 3. Dibentuk vektor 𝑣3 yang ortogonal terhadap 𝑣1 dan 𝑣2, yaitu:

Jadi diperoleh basis ortogonal untuk 𝑉 = ℝ3 adalah

Selanjutnya dengan menormalkan vektor-vektor 𝑣1, 𝑣2, dan 𝑣3 akan diperoleh basis ortonornal yaitu: